Le modèle actuariel, si j’en crois la rumeur, poserait implicitement l’hypothèse selon laquelle les flux de revenus intermédiaires des produits financiers que nous valorisons devraient être réinvestis à taux constant. Le cas peut sembler un brin technique à ceux qui ne manipulent pas ces objets fréquemment mais il tout à fait extraordinaires en ce sens qu’au cœur même de la mécanique financière, un nombre appréciable de spécialistes semblent confondre deux notions absolument fondamentales.
Commençons par le commencement et rappelons tout d’abord que la méthode dite des intérêts composés n’a jamais eu vocation à décrire un actif financier dans le monde réel. Ce que décrit cette méthode c’est ce que les mathématiciens appellent une croissance exponentielle ou géométrique ; c’est-à-dire la croissance de quelque chose qui croît à un rythme constant et positif — en l’espèce, il est question de la valeur acquise d’un capital placé à un taux d’intérêt fixe et capitalisé régulièrement mais la même méthode pourrait tout aussi bien décrire la prolifération d’une population de bactéries : c’est un outil conceptuel et l’hypothèse — bien réelle — de réinvestissement à taux constant n’a jamais été autre chose que la traduction en termes financiers d’un concept mathématique.
Nous savons que le processus décrit par la méthode des intérêts composés est sensible à la fréquence de capitalisation desdits intérêts : plus la fréquence est élevée — plus le laps de temps entre deux paiement et donc deux réinvestissements est court — plus la valeur acquise par notre capital théorique dans le futur sera élevée. À titre d’illustration, un capital de 100 euros placé à 10% pendant 5 ans vaudra entre (environ) 161.05 euros si les intérêts sont composés tous les ans et (environ) 163.53 euros si les intérêts sont composés mensuellement [1].
C’est précisément afin de pouvoir comparer des taux qui capitalisent à des fréquences différentes qu’on utilise la notion de taux annuel équivalent [2] : le taux qui, capitalisé une fois l’an, permet d’obtenir le même rendement théorique qu’un taux capitalisé à plus haute fréquence. Typiquement, on démontre facilement que le taux annuel équivalent d’un placement à 10% qui capitalise tous les mois est de 10.47%.
Ce que nous dit le modèle actuariel, c’est que 161.05 euros disponibles dans 5 ans actualisés à un taux de 10% valent 100 euros aujourd’hui, que 88.58 euros disponibles dans 6 ans et actualisés au même taux valent 50 euros et que la somme de ces deux flux de revenus futurs, actualisés à 10% sur 5 et 6 ans respectivement, donne une valeur actuelle de 150 euros. C’est mathématiquement imparable : si nous pouvions investir 100 euros et 50 euros à un taux de 10% capitalisé tous les ans, nous obtiendrions bien 161.05 au bout de 5 ans et 88.58 euros après 6 ans respectivement ; l’hypothèse de réinvestissement à taux constant — tout à fait explicite — n’est qu’une convention de présentation de moyennes géométriques.
La grande confusion vient de ce que de nombreux commentateurs confondent la notion de taux actuariel (ou, au choix, de Taux de Rendement Interne [3]) et celle de taux annuel équivalent. Très clairement : personne n’a jamais dit ni écrit — sauf à n'y rien comprendre, ça va de soi — qu’un taux actuariel de 10% était équivalent à la promesse d’un rendement de 10% capitalisé tous les ans. Précisément, ces deux taux ne sont égaux que dans deux cas bien précis : (i) les produits qui ne génèrent aucun flux de revenu intermédiaires (zéro coupon) ou (ii) les produits qui versent des intérêts annuels et permettent de réinvestir ces derniers au taux actuariel (qui n’existent pas).
Dans tous les autres cas, le taux de rendement constaté ex-post sera toujours différent — ne fût-ce qu’un peu — du taux actuariel constaté ex-ante et le modèle actuariel n’a jamais supposé implicitement ou explicitement qu’il en serait autrement. C’est-à-dire que l’hypothèse implicite de la rumeur n’est pas dans le modèle mais dans l’esprit de ceux qui s’en servent sans bien le comprendre.
[1] Au maximum, dans l’hypothèse non moins farfelue où un produit nous verserait des intérêts sur des périodes infiniment courtes (mettons toutes les secondes ou nanosecondes…), on atteindrait 164.87 euros.
[2] Que l’on trouve aussi sous le nom de « taux effectif » ou de Compound Annual Growth Rate (CAGR).
[3] Bref, le taux qui annule la Valeur Actuelle Nette (VAN).
Article publié initialement sur le Tumblr de Guillaume Nicoulaud